{"id":682,"date":"2020-10-10T17:24:55","date_gmt":"2020-10-10T20:24:55","guid":{"rendered":"https:\/\/tradutoresproletarios.wordpress.com\/?p=682"},"modified":"2021-01-23T05:18:57","modified_gmt":"2021-01-23T05:18:57","slug":"marx-e-a-matematica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/zeroaesquerda.com.br\/index.php\/2020\/10\/10\/marx-e-a-matematica\/","title":{"rendered":"Marx e a matem\u00e1tica \u2014 Dirk J. Struik"},"content":{"rendered":"\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n


Por Dirk J. Struik


Marx recebeu seus primeiros ensinamentos em matem\u00e1tica na escola secund\u00e1ria de Trier [Gymnasium of Trier<\/em>], na cidade de Trier, cidade na Ren\u00e2nia onde nasceu. Quando de sua gradua\u00e7\u00e3o, em 1835, seu conhecimento em matem\u00e1tica era considerado adequado. Isso significa que ele come\u00e7ou a carreira com algum conhecimento de aritm\u00e9tica elementar, \u00e1lgebra para equa\u00e7\u00f5es quadr\u00e1ticas e geometria plana e espacial. Tamb\u00e9m possivelmente de trigonometria e um pouco de \u00e1lgebra superior, geometria anal\u00edtica e c\u00e1lculo.<\/p>\n\n\n\n

N\u00e3o h\u00e1 ind\u00edcios de que ele mostrou qualquer interesse pela matem\u00e1tica durante os anos turbulentos que antecederam e sucederam 1848, em que ele e Engels desenvolveram sua vis\u00e3o de mundo. O primeiro sinal de que Marx havia retornado a seus estudos de matem\u00e1tica \u00e9 do per\u00edodo em que ele se exilou em Londres e estava trabalhando nos seus grandes projetos cient\u00edficos. Em uma carta enviada a Engels, em 11 de Janeiro de 1858[1]<\/a>, ele escreveu:<\/p>\n\n\n\n

Na elabora\u00e7\u00e3o dos princ\u00edpios econ\u00f4micos, fiquei t\u00e3o abominavelmente retido por erros de c\u00e1lculo, que, desesperado, comecei de novo a percorrer a \u00e1lgebra. A aritm\u00e9tica sempre me foi estranha. Quando recorro \u00e0 \u00e1lgebra, no entanto, pego rapidamente.<\/p>\n\n\n\n

Seu estudo de \u00e1lgebra foi seguido pelo de geometria anal\u00edtica e c\u00e1lculo. Em carta a Engels, de 06 de Julho de 1863, ele relatou o progresso:<\/p>\n\n\n\n

Nos tempos livres, dedico-me ao c\u00e1lculo diferencial e integral. A prop\u00f3sito! Tenho muitos livros sobre este assunto e lhe enviarei um se quiser empreender um estudo desta disciplina. Acho-o quase necess\u00e1rio para os seus estudos militares. Al\u00e9m disso, constitui uma parte muito mais f\u00e1cil (quanto aos aspectos puramente t\u00e9cnicos) da matem\u00e1tica do que, por exemplo, a \u00e1lgebra superior. Al\u00e9m do conhecimento comum de \u00e1lgebra e trigonometria, n\u00e3o \u00e9 preciso nenhum estudo preparat\u00f3rio, exceto o conhecimento geral das se\u00e7\u00f5es c\u00f4nicas[2]<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Portanto, parece que Marx achou a \u00e1lgebra mais f\u00e1cil que a aritm\u00e9tica e o c\u00e1lculo mais f\u00e1cil do que a \u00e1lgebra. Mas ele n\u00e3o estava t\u00e3o interessado na t\u00e9cnica do c\u00e1lculo. Ele foi irresistivelmente atra\u00eddo para as antigas [182]quest\u00f5es da fundamenta\u00e7\u00e3o do c\u00e1lculo, ainda mais porque, nos livros em que ele procurou, este assunto era tratado de modo insatisfat\u00f3rio e, eventualmente, controverso. Marx, assim como muitos pensadores dial\u00e9ticos antes e depois dele, encontrou infind\u00e1vel fascina\u00e7\u00e3o nas diferentes defini\u00e7\u00f5es de derivada e de diferencial, como \u00e9 mostrado por uma grande quantidade de material manuscrito que foi encontrado entre seus trabalhos.<\/p>\n\n\n\n

Nos anos seguintes a 1870, Marx at\u00e9 tentou desenvolver seus pr\u00f3prios pontos de vista. Engels relata tal fase no pref\u00e1cio ao segundo volume d\u2019O Capital:<\/p>\n\n\n\n

Ap\u00f3s 1879, uma intermiss\u00e3o voltou a ocorrer, principalmente devido \u00e0 doen\u00e7a. O conte\u00fado de muitos cadernos de anota\u00e7\u00e3o com resumos desse per\u00edodo consiste em agronomia; rela\u00e7\u00f5es agr\u00e1rias estadunidenses e, especialmente, russas; dinheiro; mercado e sistemas banc\u00e1rios; e por fim ci\u00eancias naturais, geologia e fisiologia, e especialmente escritos matem\u00e1ticos independentes.[3]<\/a><\/p>\n\n\n\n

Marx, nos \u00faltimos dias de sua vida, juntou algumas de suas reflex\u00f5es concernentes ao c\u00e1lculo diferencial de uma forma leg\u00edvel e despachou os manuscritos a Engels. Uma carta de 18 de Agosto de 1881 mostra que Engels estudou os manuscritos:<\/p>\n\n\n\n

Ontem finalmente tomei coragem de estudar seus manuscritos matem\u00e1ticos mesmo sem refer\u00eancia aos manuais, e fiquei feliz em ver que n\u00e3o precisei deles. Devo congratul\u00e1-lo pelo trabalho. A quest\u00e3o \u00e9 t\u00e3o perfeitamente clara (sonnenklar<\/em>) que n\u00e3o podemos nos surpreender o bastante com como os matem\u00e1ticos insistem em mistific\u00e1-la.[4]<\/a><\/p>\n\n\n\n

Engels continua a apresentar o ponto de vista de Marx em suas pr\u00f3prias palavras e o compara com os pontos de vista de Hegel, com os quais ele e Marx eram completamente familiarizados. Ele termina com as seguintes palavras:<\/p>\n\n\n\n

O assunto tem tomado conta de mim de tal maneira que n\u00e3o apenas revira na minha cabe\u00e7a o dia todo, mas tamb\u00e9m semana passada, em um sonho, dei a um companheiro os bot\u00f5es de minha camisa para diferenciar e este camarada fugiu com eles [und dieser mit damit durchbrannte<\/em>].[5]<\/a><\/p>\n\n\n\n

Marx, que na \u00e9poca estava preocupado com a doen\u00e7a de sua esposa \u2013 ela morreu em Dezembro do mesmo ano \u2013, ao que parece, n\u00e3o retornou ao assunto em sua correspond\u00eancia subsequente. Quando, entretanto, Engels relatou a Marx (21 de Novembro de 1882) sobre uma troca de cartas entre ele e seu amigo Sam Moore sobre a quest\u00e3o das teorias matem\u00e1ticas de Marx, [183]este prontamente deu uma resposta no dia seguinte. Voltamos a essa correspond\u00eancia mais tarde neste artigo.<\/p>\n\n\n\n

Marx morreu antes que pudesse acrescentar mais alguma coisa \u00e0s suas ideias. Engels mais tarde pensou em publicar os manuscritos matem\u00e1ticos de Marx junto com a sua dial\u00e9tica da natureza. No pref\u00e1cio \u00e0 segunda edi\u00e7\u00e3o de Anti-D\u00fcring<\/em> (1885) Engels menciona seus pr\u00f3prios estudos em matem\u00e1tica e ci\u00eancias naturais, e acrescenta que os tinha interrompido ap\u00f3s a morte de Marx. Ele conclui: \u201ctalvez mais tarde haja uma oportunidade de coletar e publicar os resultados obtidos, conjuntamente com os important\u00edssimos manuscritos matem\u00e1ticos deixados por Marx\u201d[6]<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Engels n\u00e3o encontrou tempo para realizar este trabalho, e os trabalhos de Marx e Engels lidando com as ci\u00eancias exatas permaneceram nos arquivos. Os social-democratas alem\u00e3es, que herdaram os documentos de Marx e Engels, foram incapazes de apreciar a dial\u00e9tica da matem\u00e1tica, f\u00edsica e qu\u00edmica. O entendimento teve de esperar at\u00e9 que os russos come\u00e7assem a mostrar a fundamental import\u00e2ncia do trabalho filos\u00f3fico de Marx e Engels.  A obra Materialismo e Empiriocriticismo<\/em> (1908), de Lenin, foi uma precursora [trail blazer<\/em>], mas n\u00e3o veio a ser conhecida fora dos estritos c\u00edrculos russos at\u00e9 sua publica\u00e7\u00e3o em alem\u00e3o, muito tempo depois da revolu\u00e7\u00e3o de 1917. Posteriormente os russos publicaram Dial\u00e9tica da Natureza<\/em>, de Engels; primeiro em russo, e ent\u00e3o (1927) no alem\u00e3o original.<\/p>\n\n\n\n

Os livros de Lenin e Engels agora est\u00e3o dispon\u00edveis em ingl\u00eas; o de Lenin em uma tradu\u00e7\u00e3o de 1927, e o de Engels em uma tradu\u00e7\u00e3o de 1940.<\/p>\n\n\n\n

Mais tarde, alguns dos manuscritos matem\u00e1ticos mais caracter\u00edsticos de Marx foram publicados, por\u00e9m apenas na tradu\u00e7\u00e3o russa[7]<\/a>. Nosso estudo \u00e9 baseado nos documentos publicados pelos russos. Espera-se que todos seus escritos matem\u00e1ticos sejam eventualmente publicados, n\u00e3o apenas em russo, mas tamb\u00e9m no alem\u00e3o original.<\/p>\n\n\n\n

[184]A extens\u00e3o do interesse de Marx na matem\u00e1tica \u00e9 ilustrada pelo fato de que o instituto Marx-Engels-Lenin em Moscou obteve, desde 1925, c\u00f3pias fotogr\u00e1ficas de cerca de 900 p\u00e1ginas de manuscritos matem\u00e1ticos de Marx, todos os quais foram decifrados e colocados em ordem[8]<\/a>. Os manuscritos consistem essencialmente em resumos de livros, estudados por Marx, frequentemente com notas; de relatos abrangentes sobre assuntos especiais; e de investiga\u00e7\u00f5es independentes, expressando diferentes est\u00e1gios dos estudos de Marx, desde rascunhos preliminares at\u00e9 manuscritos finalizados, provavelmente para auxiliar Engels. Apenas algumas poucas p\u00e1ginas, quase vinte e quatro, s\u00e3o dedicadas a c\u00e1lculos.<\/p>\n\n\n\n

De longe, a parte mais volumosa desses manuscritos trata da \u00e1lgebra, que Marx estudou atrav\u00e9s de Lacroix, Maclaurin e talvez de outros textos. A maior parte desta \u00e1lgebra abrange a resolu\u00e7\u00e3o de equa\u00e7\u00f5es de grau superior, mas Marx tamb\u00e9m mostrou interesse em s\u00e9ries, notadamente em s\u00e9ries divergentes. Tamb\u00e9m h\u00e1 resumos que tratam de geometria anal\u00edtica, especialmente do livro de Hymers.<\/p>\n\n\n\n

Outros manuscritos cont\u00eam reflex\u00f5es de Marx acerca do c\u00e1lculo diferencial. H\u00e1 novamente muitos resumos e relatos abrangentes baseados em livros de Lacroix, Boucharlat e Hind, complementados pelos de Hall e Hemming, todos textos acad\u00eamicos populares das primeiras d\u00e9cadas do s\u00e9culo XIX. Estes trabalhos tratam principalmente da concep\u00e7\u00e3o de fun\u00e7\u00e3o e s\u00e9ries, de limite e de derivada, e das determina\u00e7\u00f5es dos pontos extremos de uma fun\u00e7\u00e3o. Marx mostrou interesse particularmente no famoso uso que Lagrange faz da s\u00e9rie de Taylor para a fundamenta\u00e7\u00e3o \u201calg\u00e9brica\u201d do c\u00e1lculo, e comparou as diferentes defini\u00e7\u00f5es de derivada e de diferencial em diversos textos. Marx, em uma de suas anota\u00e7\u00f5es, reproduz a deriva\u00e7\u00e3o do teorema binomial do teorema de Taylor, e observa que \u201cLagrange, ao contr\u00e1rio, deriva o teorema de Taylor do teorema binomial\u201d, uma inquieta\u00e7\u00e3o que se repete com frequ\u00eancia e \u00e0 qual ele dedica certa reflex\u00e3o. Um de seus manuscritos \u00e9 intitulado \u201cUm desenvolvimento modificado do teorema de Taylor baseado puramente na \u00e1lgebra segundo Lagrange\u201d[9]<\/a>, outros t\u00eam um t\u00edtulo t\u00e3o significativo quanto: \u201cTeorema de Taylor \u2013 \u00e9 baseado na tradu\u00e7\u00e3o da linguagem alg\u00e9brica do teorema binomial para express\u00f5es de diferencial\u201d, e \u201cTeorema de Maclaurin tamb\u00e9m \u00e9 apenas tradu\u00e7\u00e3o da linguagem alg\u00e9brica do teorema binomial na linguagem diferencial\u201d. Dois cadernos, [185]provavelmente datados de um per\u00edodo avan\u00e7ado da vida de Marx, cont\u00eam exemplos do m\u00e9todo de diferencia\u00e7\u00e3o que Marx eventualmente preferia, assim como um trabalho sobre diferencial e um esbo\u00e7o hist\u00f3rico dos m\u00e9todos de diferencia\u00e7\u00e3o usados por Newton, Leibniz, D\u2019Alambert e Lagrange. Ele n\u00e3o estava t\u00e3o interessado na t\u00e9cnica de diferencia\u00e7\u00e3o e integra\u00e7\u00e3o quanto estava em rela\u00e7\u00e3o aos princ\u00edpios b\u00e1sicos sobre os quais o c\u00e1lculo \u00e9 constru\u00eddo, isto \u00e9, na forma como as no\u00e7\u00f5es de derivada e diferencial s\u00e3o introduzidas. Ele logo descobriu que havia uma consider\u00e1vel diferen\u00e7a de opini\u00f5es entre os principais autores sobre esses princ\u00edpios b\u00e1sicos, uma diferen\u00e7a geralmente acompanhada de confus\u00e3o. Essa confus\u00e3o s\u00f3 aumentou nos manuais escritos por autores secund\u00e1rios11<\/a>. Diferentes respostas foram dadas acerca de se a derivada \u00e9 baseada na diferencial ou vice-versa, se a diferencial \u00e9 pequena e constante, pequena e tendendo a zero, ou absolutamente zero etc. Marx sentiu o desafio oferecido pelo problema que atraiu algumas das mais agu\u00e7adas mentes do passado e que lidaram com o n\u00facleo mesmo do processo dial\u00e9tico, ou seja, a natureza da mudan\u00e7a. N\u00e3o encontrando nenhuma resposta satisfat\u00f3ria nos livros, ele tentou chegar a uma resposta ele mesmo \u00e0 sua pr\u00f3pria maneira: indo \u00e0s fontes, comparando os resultados e modelando-os em novas regi\u00f5es. Pode talvez parecer ao leitor que entre as fontes estudadas por Marx parece n\u00e3o haver refer\u00eancia a Augustin Cauchy \u2013 ao menos at\u00e9 onde podemos julgar pelo material publicado. O trabalho de Cauchy, o qual sustenta a exposi\u00e7\u00e3o da fundamenta\u00e7\u00e3o do c\u00e1lculo nos livros atuais, poderia estar dispon\u00edvel a Marx12<\/a>. A raz\u00e3o pela qual Marx n\u00e3o tomou conhecimento de Cauchy pode ser devida ao fato de que as ideias de Cauchy apenas lentamente penetraram os livros did\u00e1ticos, de modo que podem ter escapado de Marx, que [186]n\u00e3o se envolvia com os matem\u00e1ticos profissionais13<\/a>. Uma raz\u00e3o mais plaus\u00edvel \u00e9 que o m\u00e9todo de Cauchy definir a derivada era essencialmente o de D\u2019Alambert, de forma que Marx n\u00e3o o considerou como um novo m\u00e9todo.<\/p>\n\n\n\n

Quaisquer que fossem as raz\u00f5es de Marx para ignorar o trabalho de Cauchy, seu sentimento de insatisfa\u00e7\u00e3o com o jeito como se introduzia o c\u00e1lculo era compartilhado por alguns dos principais jovens matem\u00e1ticos profissionais de sua \u00e9poca. No mesmo ano (1858) em que Marx retomou seus estudos de matem\u00e1tica, Richard Dedekind, em Zurique, sentiu semelhante insatisfa\u00e7\u00e3o, no caso dele ao ensinar o c\u00e1lculo. Escrevendo em 1872, ele primeiro declarou que em suas aulas ele recorreu a evid\u00eancias geom\u00e9tricas para explicar a no\u00e7\u00e3o de um limite, ent\u00e3o continuou:<\/p>\n\n\n\n

Mas que essa forma de introdu\u00e7\u00e3o ao c\u00e1lculo diferencial n\u00e3o pode ser considerada cient\u00edfica, isso ningu\u00e9m negar\u00e1. Para mim, este sentimento de insatisfa\u00e7\u00e3o era t\u00e3o avassalador que tomei a firme decis\u00e3o de continuar meditando sobre a quest\u00e3o at\u00e9 encontrar uma base puramente alg\u00e9brica e perfeitamente rigorosa para os princ\u00edpios do c\u00e1lculo infinitesimal. 14<\/a><\/p>\n\n\n\n

Isso levou Dedekind a uma nova abordagem axiom\u00e1tica da concep\u00e7\u00e3o do cont\u00ednuo e dos n\u00fameros irracionais, que foi um dos grandes esfor\u00e7os pioneiros no que chamamos de aritmetiza\u00e7\u00e3o da matem\u00e1tica. Alguns anos mais tarde, um dos outros pioneiros dos novos m\u00e9todos de rigor na matem\u00e1tica, Paul Du Bois Reymond, exclamou:<\/p>\n\n\n\n

Qual matem\u00e1tico negaria \u2013 especialmente em sua forma publicada \u2013 que a concep\u00e7\u00e3o de limite e seus associados mais pr\u00f3ximos, a concep\u00e7\u00e3o de ilimitado, o infinitamente grande e o infinitamente pequeno, o irracional etc. ainda carecem de rigor? O professor, em mandado e palavra, est\u00e1 acostumado a passar rapidamente atrav\u00e9s desta question\u00e1vel porta de an\u00e1lise, a fim de percorrer o mais confortavelmente as bem iluminadas estradas do c\u00e1lculo. 15<\/a><\/p>\n\n\n\n

N\u00e3o foi antes das \u00faltimas d\u00e9cadas do s\u00e9culo XIX, sob a influ\u00eancia de Dedekind e Du Bois Reymond, bem como de Weierstrass e Cantor, que a profunda revis\u00e3o dos princ\u00edpios do c\u00e1lculo [187] assumiu um lugar na base dos m\u00e9todos modernos, e mostrou que a abordagem de Cauchy pode levar a completo rigor. Esse trabalho apareceu muito tarde para influenciar Marx e Engels16<\/a>. O resultado \u00e9 que as reflex\u00f5es de Marx sobre as fundamenta\u00e7\u00f5es do c\u00e1lculo devem ser apreciadas como uma cr\u00edtica aos m\u00e9todos do s\u00e9culo XVIII. Sentimos, no entanto, que seu trabalho, desenvolvido contemporaneamente mas de forma independente dos principais matem\u00e1ticos da segunda metade do s\u00e9culo XIX, ainda hoje contribui para a compreens\u00e3o do significado do c\u00e1lculo.<\/p>\n\n\n\n

Nunca devemos esquecer, \u00e9 claro, que Marx nunca publicou seu material, e que sequer h\u00e1 alguma indica\u00e7\u00e3o de que ele pretendesse publicar, ainda que Engels pare\u00e7a ter brincado com a ideia. Marx se ocupou com a matem\u00e1tica nas horas de repouso, para relaxar, muitas vezes nos momentos de enfermidade, guiado por alguns livros que ocorreu de ter em sua biblioteca, como os de Boucharlat, que introduziam os princ\u00edpios de diferencia\u00e7\u00e3o de maneira insatisfat\u00f3ria. Ele procurou elucidar as fontes citadas em Boucharlat e livros semelhantes, o que o levou a Newton, Leibniz, D\u2019Alambert e Lagrange. Suas anota\u00e7\u00f5es foram em primeiro lugar destinadas a seu pr\u00f3prio esclarecimento, depois de ler esses cl\u00e1ssicos em tentativas de entender os textos frequentemente obscuros. Aflito com as formula\u00e7\u00f5es insatisfat\u00f3rias desses livros, ele tentou de maneira caracter\u00edstica endireitar as dificuldades para si mesmo.<\/p>\n\n\n\n

As dificuldades que Marx tentou superar s\u00e3o, no presente, t\u00e3o reais quanto em seu tempo, ainda que nosso aparato formal seja mais cuidadosamente elaborado e praticamente infal\u00edvel. Essas dificuldades s\u00e3o t\u00e3o antigas quanto Zen\u00e3o de Eleia e t\u00e3o jovens quanto a mais recente tentativa filos\u00f3fica ou fisiol\u00f3gica de tentar entender como o repouso pode passar ao movimento, e como o movimento pode levar ao repouso. Essa \u00e9 a raz\u00e3o pela qual Marx estudou t\u00e3o cuidadosamente a concep\u00e7\u00e3o de derivada de uma fun\u00e7\u00e3o e a concep\u00e7\u00e3o relacionada de diferencial. Ele descobriu que h\u00e1 tr\u00eas m\u00e9todos principais pelos quais essas concep\u00e7\u00f5es foram desenvolvidas. Marx classificou-os, chamando-os de m\u00e9todo m\u00edstico, m\u00e9todo racional e m\u00e9todo alg\u00e9brico (ligados aos nomes de Newton-Leibniz, D\u2019Alambert e Lagrange, respectivamente), e ent\u00e3o op\u00f4s a eles seu pr\u00f3prio modo de entender a derivada, a diferencial e o c\u00e1lculo em geral. Vamos explicar a dificuldade diferenciando a fun\u00e7\u00e3o  nas diferentes formas criticadas por Marx.[188] <\/p>\n\n\n\n

1) Newton-Leibniz. (\u201cO c\u00e1lculo diferencial m\u00edstico\u201d). 17 \u2013 \ud835\udc65 varia para\ud835\udc65 + \ud835\udc65\u02d9\ud835\udc61 em Newton, e para
\ud835\udc65 + \ud835\udc51\ud835\udc65 em Leibniz; n\u00f3s seguimos Leibniz. Ent\u00e3o \ud835\udc66 varia para \ud835\udc661 = \ud835\udc66 + \ud835\udc51\ud835\udc66 e
<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Se considerado que (dx<\/em>)\u00b2 e (dx<\/em>)\u00b3 s\u00e3o infinitesimais quando comparados a 3x<\/em>\u00b2 dx<\/em> , eles podem ser descartados e obtemos a f\u00f3rmula correta

dy<\/em> = 3x<\/em>\u00b2 dx<\/em><\/p>\n\n\n\n

Isso \u00e9 altamente misterioso, e o mist\u00e9rio n\u00e3o desaparece se primeiro dividirmos dy<\/em> por dx<\/em><\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

e ent\u00e3o deixarmos h = dx  ser zero. \u00c9 verdade que obtemos a f\u00f3rmula certa<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

mas Marx ressalta:<\/p>\n\n\n\n

a anula\u00e7\u00e3o [nullification<\/em>] de  n\u00e3o \u00e9 permitida antes que a primeira fun\u00e7\u00e3o derivada, aqui , tenha sido liberada do fator h  pela divis\u00e3o, da\u00ed y1-y\/h = 3x\u00b2 + 3xh + h\u00b2. S\u00f3 ent\u00e3o podemos anular [annul<\/em>] (aufheben<\/em>) a diferen\u00e7a finita. O coeficiente diferencial dy\/dx = 3x\u00b2  tamb\u00e9m deve, portanto, ser originalmente desenvolvido antes que possamos obter a diferencial dy =3x\u00b2 dx .<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n

Em outras palavras, sab\u00edamos de antem\u00e3o qual deveria ser a resposta, e desenvolvemos algum racioc\u00ednio para torn\u00e1-la plaus\u00edvel. Foi essa maneira frouxa com que Newton e Leibniz vulgarmente fundamentaram o c\u00e1lculo que levou o Bispo Berkeley \u00e0 sua famosa cr\u00edtica em O Anal\u00edtico<\/em> de 1734. Aqui ele questionou se os dx  s\u00e3o ou n\u00e3o zero, chamou-os \u201cfantasmas de quantidades que se foram\u201d e concluiu que nenhum matem\u00e1tico que acreditasse nesses absurdos poderia contestar sensatamente os dogmas miraculosos da religi\u00e3o. Esse n\u00e3o foi o \u00fanico caso em que as dificuldades da fundamenta\u00e7\u00e3o na ci\u00eancia foram exploradas por raz\u00f5es idealistas e obscurantistas.<\/p>\n\n\n\n

Os matem\u00e1ticos sentiram a dificuldade e tentaram lidar com isso sugerindo formas mais exatas de fundamentar o c\u00e1lculo18<\/a>. As mais importantes contribui\u00e7\u00f5es foram as de D\u2019Alambert e Lagrange.<\/p>\n\n\n\n

2) D\u2019Alambert<\/em> (\u201cO c\u00e1lculo diferencial racional<\/em>\u201d). 19<\/a> Nas palavras de Marx:<\/p>\n\n\n\n

D\u2019Alambert parte diretamente do ponto de partida de Newton e Leibniz<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

mas imediatamente faz a corre\u00e7\u00e3o fundamental x1 = x + \u0394x  , quer [189] dizer, \u0394x torna-se um acr\u00e9scimo indeterminado, mas prima facie<\/em> finito, que se chama . A transforma\u00e7\u00e3o de h ou \u0394x em dx (ele usou a nota\u00e7\u00e3o de Leibniz, como todos os franceses) s\u00f3 \u00e9 encontrada como o \u00faltimo resultado do desenvolvimento ou, pelo menos, pouco antes do fechamento dos port\u00f5es (knapp vor Torschluss<\/em>), enquanto isso aparece como ponto de partida com os m\u00edsticos e os iniciadores do c\u00e1lculo:<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Agora, colocando h = 0 , a express\u00e3o f(x+h) – f(x)\/h    se transforma em dy\/dx:<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

A maneira pela qual D\u2019Alambert diferencia \u00e9 muito similar ao m\u00e9todo de Cauchy. N\u00f3s escrevemos, atualmente, com Cauchy<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

A obje\u00e7\u00e3o de Marx a esse m\u00e9todo \u00e9 que, embora esteja formalmente correto, a derivada f'(x) j\u00e1 est\u00e1 presente em 3x\u00b2 + 3xh + h\u00b2 , isto \u00e9, antes da diferencia\u00e7\u00e3o. \u00c9 simplesmente o primeiro termo de uma soma, 3x\u00b2 + 3xh + h\u00b2 , e o m\u00e9todo de D\u2019Alambert consiste simplesmente em elaborar uma maneira de se livrar do termo (ou termos) da soma que acompanha 3x\u00b2 . Marx chama isso de Loswicklung<\/em> (separa\u00e7\u00e3o); enquanto o m\u00e9todo correto deveria ser Entwicklung<\/em> (desenvolvimento):<\/p>\n\n\n\n

A deriva\u00e7\u00e3o, portanto, \u00e9 a mesma que em Leibniz e Newton, mas a derivada est\u00e1, de um modo estritamente alg\u00e9brico, separada<\/em> previamente de seu outro contexto20<\/a>. N\u00e3o h\u00e1 desenvolvimento<\/em>, mas separa\u00e7\u00e3o de f'(x) , aqui 3x\u00b2  21<\/a>, do seu fator h  e dos elementos que aparecem a seu lado nos outros termos marchando como militares de baixa patente. O que realmente foi desenvolvido \u00e9 o primeiro membro simb\u00f3lico, isto \u00e9, dx , dy e sua raz\u00e3o, o coeficiente diferencial simb\u00f3lico dy\/dx ou 0\/0 (ao contr\u00e1rio do outro jeito 0\/0=dy\/dx), que por sua vez novamente provocou alguns calafrios metaf\u00edsicos, embora o s\u00edmbolo tenha sido deduzido matematicamente. D\u2019Alambert tinha feito um enorme progresso, ao despir o c\u00e1lculo diferencial de seu v\u00e9u m\u00edstico.<\/p>\n\n\n\n

A avalia\u00e7\u00e3o de Marx sobre o trabalho de D\u2019Alambert como \u201cum enorme progresso\u201d ainda permanece. Isso \u00e9 o mais not\u00e1vel, tendo em vista que at\u00e9 os historiadores modernos da matem\u00e1tica t\u00eam uma maneira de encobrir isso. Marx em seguida procede a Lagrange.<\/p>\n\n\n\n

3) Lagrange<\/em> (\u201cO c\u00e1lculo diferencial puramente alg\u00e9brico<\/em>\u201d).<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n\n\n

[190]Lagrange simplesmente define o coeficiente de h como a derivada:
dy\/dx = f'(x) = 3x\u00b2, ou mais comumente pelo teorema de Taylor para uma f(x) gen\u00e9rica:<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Marx ent\u00e3o parafraseia o m\u00e9todo de Lagrange nas seguintes palavras:<\/p>\n\n\n\n

No primeiro m\u00e9todo (1), assim como no racional (2), o coeficiente real requerido \u00e9 fabricado j\u00e1 pronto pelo teorema binomial e pode ser encontrado j\u00e1 como o segundo termo da expans\u00e3o da s\u00e9rie, portanto no termo que necessariamente cont\u00e9m h\u00b9 . Todo o procedimento diferencial adicional, seja como em (1) ou como em (2), \u00e9 portanto ostenta\u00e7\u00e3o. Vamos, ent\u00e3o, largar o lastro in\u00fatil. Sabemos de uma vez por todas pela expans\u00e3o binomial que o primeiro coeficiente real \u00e9 o fator de h , o segundo \u00e9 o fator de h\u00b2 etc. Esses coeficientes diferenciais reais n\u00e3o s\u00e3o nada al\u00e9m das fun\u00e7\u00f5es derivadas da fun\u00e7\u00e3o original<\/em> em x , expandida binomialmente em sucess\u00e3o… Todo o verdadeiro problema se reduziu \u00e0 descoberta de m\u00e9todos (alg\u00e9bricos) de expans\u00e3o de todo tipo de fun\u00e7\u00e3o de x+h  em pot\u00eancias ascendentes inteiras de , que em muitos casos n\u00e3o pode ser efetuado sem uma grande prolixidade de opera\u00e7\u00f5es22<\/a>. At\u00e9 agora, n\u00e3o aparece nada em Lagrange, mas que pode ser encontrado diretamente no m\u00e9todo de D\u2019Alambert (pois isso tamb\u00e9m inclui todo o desenvolvimento do m\u00e9todo m\u00edstico).<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n

A obje\u00e7\u00e3o que Marx levantou contra os escritores cl\u00e1ssicos foi que todo caminho tinha j\u00e1 preparada a derivada antes de o processo de diferencia\u00e7\u00e3o realmente come\u00e7ar. Marx queria um m\u00e9todo que realmente seguisse o processo em si definida a derivada como 0\/0, caso em que poderia ser adotado um novo s\u00edmbolo  dy\/dx. A derivada, ele afirmou, deveria ser derivada por um processo<\/em> de diferencia\u00e7\u00e3o, n\u00e3o produzida desde o in\u00edcio pelo teorema binomial.<\/p>\n\n\n\n

Quer partamos falsamente de x+dx  ou corretamente de x+h, se substituirmos este bin\u00f4mio indeterminado na fun\u00e7\u00e3o alg\u00e9brica dada de x, n\u00f3s o transformamos em um bin\u00f4mio de grau definido, por exemplo, (x+h)\u00b3  em vez de x\u00b3 , e isso em um bin\u00f4mio em que em um caso dx , no outro caso h , figura como seus \u00faltimos termos. Por isso, tamb\u00e9m figura na expans\u00e3o apenas como um fator, com o qual as fun\u00e7\u00f5es, derivadas do bin\u00f4mio, s\u00e3o externamente afetadas23<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Essa falta de desenvolvimento interno pode ser evitada no m\u00e9todo que Marx sugere, digamos para y = x\u00b3 :<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

[191]Quando x = x1, ou x-x1, obtemos:<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Neste m\u00e9todo, escreve Marx, obtemos primeiro uma derivada preliminar<\/em>, ou seja, x1\u00b2 + xx1 + x\u00b2, e isto passa por x = x1  para a derivada definida<\/em>. Esta passagem de x1 para x elimina qualquer aproxima\u00e7\u00e3o \u201cinfinitesimal\u201d, mostra que a derivada \u00e9 na verdade 0\/0 , obtida quando x1 – x   \u00e9 realmente zero:<\/p>\n\n\n\n

Aqui vemos de forma not\u00e1vel:<\/p>\n\n\n\n

Primeiramente<\/em>: para obter a derivada devemos colocar x1 = x , portanto x1 – x = 0  no sentido matem\u00e1tico estrito<\/em>, sem resqu\u00edcio de uma aproxima\u00e7\u00e3o infinitesimal sequer.
Segundo<\/em>: Pelo fato de que x1 foi colocado = x , portanto , x1 – x = 0 nada simb\u00f3lico entra na \u201cderivada\u201d. A grandeza x1 , originalmente introduzida variando x , n\u00e3o desaparece, s\u00f3 \u00e9 reduzida<\/em> ao seu limite m\u00ednimo x. Essa grandeza permanece como um elemento introduzido como novo na fun\u00e7\u00e3o original, que por sua combina\u00e7\u00e3o em parte consigo mesma, em parte com o x da fun\u00e7\u00e3o original, produz no final a \u201cderivada\u201d, que \u00e9 a \u201cderivada\u201d preliminar reduzida ao seu valor m\u00ednimo.
\u2026O desastre transcendental ou simb\u00f3lico (0\/0 = dy\/dx = 3x\u00b2 ) verifica-se apenas no primeiro membro, mas j\u00e1 n\u00e3o assusta, pois aparece agora apenas como a express\u00e3o de um processo que j\u00e1 comprovou seu conte\u00fado verdadeiro no segundo membro da equa\u00e7\u00e3o. 2<\/a>4
No momento em que x1 = x , o quociente \u0394y\/\u0394x   se torna 0\/0 . Visto que na express\u00e3o 0\/0 todo e qualquer tra\u00e7o de sua origem e de seu significado desapareceu, ela \u00e9 substitu\u00edda pelo s\u00edmbolo dy\/dx , no qual as diferen\u00e7as finitas  e  aparecem simbolizadas como diferen\u00e7as abolidas<\/em> [liquidated<\/em>] (aufgehobene<\/em>) ou desaparecidas<\/em> (verschwundene<\/em>). Neste momento, a \u00e1lgebra desaparece e o c\u00e1lculo diferencial, que opera com os s\u00edmbolos dy\/dx , come\u00e7a.<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n

Para entender melhor as inten\u00e7\u00f5es de Marx, traduzimos aqui parte da carta que Engels escreveu para ele em 18 de Agosto de 1881, depois de ler o manuscrito de Marx:<\/p>\n\n\n\n

Quando dizemos que em y = f(x) o x  e y  s\u00e3o vari\u00e1veis, ent\u00e3o, enquanto n\u00e3o seguirmos adiante, isso \u00e9 uma conten\u00e7\u00e3o sem todas as conseq\u00fc\u00eancias, e x e y ainda s\u00e3o, pro tempore<\/em>, constantes de fato. Apenas quando eles realmente mudam, dentro da fun\u00e7\u00e3o<\/em>, eles se tornam vari\u00e1veis \u200b\u200bde fato. S\u00f3 nesse caso \u00e9 poss\u00edvel para a rela\u00e7\u00e3o \u2013 n\u00e3o de ambas as grandezas como tal, mas de sua variabilidade \u2013 que ainda est\u00e1 escondida na equa\u00e7\u00e3o original, revelar-se. [192]A primeira derivada \u0394y\/\u0394x  mostra essa rela\u00e7\u00e3o como ocorre no curso da verdadeira mudan\u00e7a, ou seja, em cada mudan\u00e7a dada<\/em>; a derivada definitiva dy\/dx mostra-a em sua generalidade, pura. Portanto, podemos vir de dy\/dx  para cada \u0394y\/\u0394x , enquanto este (\u0394y\/\u0394x) cobre apenas o caso especial. No entanto, para passar do caso especial para a rela\u00e7\u00e3o geral, o caso especial deve ser suprassumido [liquidated<\/em>] como tal (als solcher aufgehoben werden<\/em>). Assim, depois de a fun\u00e7\u00e3o ter passado pelo processo de x para x’ com todas as suas consequ\u00eancias, pode-se tranquilamente deixar regressar x’ para x novamente; x j\u00e1 n\u00e3o \u00e9 mais a antiga vari\u00e1vel x – que de vari\u00e1vel s\u00f3 tinha o nome -, ela sofreu verdadeira mudan\u00e7a<\/em>, e o resultado da mudan\u00e7a permanece, mesmo se a suprassumirmos [liquidate<\/em>] novamente (auch wir sie selbst wieder aufheben<\/em>).<\/p>\n\n\n\n

Vemos aqui, finalmente, de forma clara, o que muitos matem\u00e1ticos afirmam h\u00e1 muito tempo, sem poder apresentar raz\u00f5es racionais para isso, que a derivada<\/em> \u00e9 o original, os diferenciais dx e dy s\u00e3o derivados.<\/p>\n\n\n\n

A diferen\u00e7a entre o m\u00e9todo de Marx e o m\u00e9todo de D’Alambert (e tamb\u00e9m o de Cauchy) n\u00e3o deve ser mal entendida e rejeitada como trivial ou insignificante ( x’ – x = h   versus x’ = x + h ). Marx, a meu ver, estava perfeitamente satisfeito com o fato de que o m\u00e9todo de D’Alambert est\u00e1 formalmente correto. No entanto, ele queria chegar a uma compreens\u00e3o do processo de diferencia\u00e7\u00e3o em si. A derivada \u00e9 obtida deixando x (e y) passar por uma sequ\u00eancia de valores constantes, ou \u00e9 necess\u00e1rio deixar x (e y) realmente mudar? Assim entendido, vemos o velho \u201cparadoxo\u201d de Zen\u00e3o emergindo: o movimento de um ponto pode ser obtido seguindo uma sequ\u00eancia de posi\u00e7\u00f5es desse ponto em repouso? Zen\u00e3o mostrou que uma sequ\u00eancia de tais posi\u00e7\u00f5es nunca produzir\u00e1 movimento; ele tamb\u00e9m mostrou por um racioc\u00ednio semelhante que Aquiles nunca alcan\u00e7ar\u00e1 a tartaruga. O m\u00e9todo de D’Alambert, afirma Marx, representa um modo de pensamento que n\u00e3o faz justi\u00e7a ao evento real que acontece quando uma fun\u00e7\u00e3o \u00e9 diferenciada. O que acontece \u00e9 uma verdadeira mudan\u00e7a, e isso \u00e9 melhor compreendido quando escrevemos primeiro \u0394y\/\u0394x como uma fun\u00e7\u00e3o de x e x’ inteiramente novo, e ent\u00e3o deixamos x = x’. Al\u00e9m disso, h = x’ – x  n\u00e3o apenas se aproxima<\/em> de zero,  torna-se<\/em> zero. A \u00eanfase \u00e9 colocada no fato de que a derivada aparece apenas quando \u0394y e \u0394x s\u00e3o absolutamente zero. Isso nunca ficou claro com os \u201cm\u00edsticos\u201d Leibniz-Newton, e apareceu como algo acidental em D’Alambert-Lagrange25<\/a>. \u00c9 t\u00e3o pouco compreendido que, em alguns textos populares, como Mathematics for the Million<\/em>, de Hogben, d\u00e1-se a impress\u00e3o de que o processo de diferencia\u00e7\u00e3o \u00e9 apenas aproximadamente verdadeiro. Mas mesmo em nossos manuais modernos, embora por tr\u00e1s do aparato n\u00e3o esteja totalmente esclarecido.<\/p>\n\n\n\n

Tomemos como exemplo os livros did\u00e1ticos Pure Mathematics<\/em>, de G. H. Hardy, que \u00e9 um dos nossos maiores matem\u00e1ticos vivos. A derivada \u00e9 explicada no modo Cauchy-D’Alambert:<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

[193] o que significa que \ud835\udf19(\ud835\udc65+\u210e)\u2212\ud835\udf19(\ud835\udc65)\/h tende a um limite quando h tende a zero. O que isto significa? \u00c9-nos dito que \ud835\udf19(\ud835\udc66)  tende ao limite l enquanto y tende a zero, se, quando algum n\u00famero positivo \u03b4, por menor que seja, for atribu\u00eddo, podemos escolher \ud835\udc660(\ud835\udeff) de modo que 0 < \ud835\udc66 \u2266 \ud835\udc660 (\ud835\udeff) quando  26<\/a><\/p>\n\n\n\n

Essa defini\u00e7\u00e3o \u00e9 precisa, no sentido de que temos um crit\u00e9rio correto e sutil para testar qualquer limite. Mas \ud835\udf19(\ud835\udc66) sempre paira pr\u00f3ximo ao limite, uma vez que nos \u00e9 dito que  \u201ctende\u201d a zero. Similarmente, \ud835\udf19'(\ud835\udc65) \u00e9 definido por meio de um h que \u201ctende\u201d a zero. A quest\u00e3o \u00e9: o evento h = 0  \u00e9 alguma vez alcan\u00e7ado? Marx n\u00e3o apenas afirma isso, ele enfatiza isso. A defini\u00e7\u00e3o usual dos livros did\u00e1ticos modernos n\u00e3o leva essa quest\u00e3o a s\u00e9rio, porque est\u00e1 satisfeita com um crit\u00e9rio pragm\u00e1tico que nos permite reconhecer um limite quando ele aparece27<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

O resultado \u00e9 que o ensinamento dos elementos do c\u00e1lculo muitas vezes procede da seguinte forma – e reconhe\u00e7o que em meu pr\u00f3prio ensino. Primeiro, mostra-se que um limite pode ser abordado da forma mais pr\u00f3xima poss\u00edvel, mas nunca atingida. Ent\u00e3o a derivada \u00e9 definida com o aux\u00edlio dessa concep\u00e7\u00e3o de limite. E ent\u00e3o, de repente, come\u00e7amos a trabalhar com essa derivada, que nunca poderia ser alcan\u00e7ada (como demonstramos anteriormente) como se realmente tivesse sido alcan\u00e7ada. O caso \u210e = 0, \ud835\udc65\u2032 = x<\/em> embora presente no aparato formal, \u00e9 de alguma forma obscurecido no racioc\u00ednio. Uma exce\u00e7\u00e3o \u00e9 encontrada no trabalho de Moritz Pasch, que em sua an\u00e1lise muito cuidadosa da derivada desenvolve um aparato formal no qual h\u00e1 espa\u00e7o para o caso h = 0.  28<\/a><\/p>\n\n\n\n

Marx, portanto, pertencia \u00e0quela escola de pensadores que insistem na m\u00e1xima clareza de pensamento ao interpretar um aparato formal. Sua posi\u00e7\u00e3o contrasta nitidamente com a dos matem\u00e1ticos ou f\u00edsicos matem\u00e1ticos que acreditam que o aparato formal \u00e9 a \u00fanica coisa que importa. A posi\u00e7\u00e3o de Marx era a do materialista, que insiste que a matem\u00e1tica significativa deve refletir as opera\u00e7\u00f5es no mundo real.<\/p>\n\n\n\n

\u00c9 interessante notar que as diferen\u00e7as entre o aparato formal de Marx e D’Alambert diminuem quando consideramos fun\u00e7\u00f5es mais complicadas. Para o caso , a derivada, no modo de diferencia\u00e7\u00e3o de D’Alambert, ainda \u00e9 obtida por separa\u00e7\u00e3o (Loswicklung<\/em>), mas em \ud835\udc66 = logx , a derivada s\u00f3 pode ser obtida a partir de \u2206y\/\u2206x   deixando  passar por uma verdadeira mudan\u00e7a.<\/p>\n\n\n\n

 [194]Uma vez que dy\/dx  \u00e9 estabelecido como o resultado de uma mudan\u00e7a real, ele mesmo se torna o sujeito de um c\u00e1lculo, o c\u00e1lculo diferencial. Marx, em um manuscrito sobre o significado do diferencial, derivou que uma das primeiras f\u00f3rmulas desse c\u00e1lculo, que a derivada de y = uz, sendo u e z fun\u00e7\u00f5es da vari\u00e1vel x \u00e9 dada por<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Quando \ud835\udc62\ud835\udc67 = \ud835\udc53(\ud835\udc65) ent\u00e3o dy\/dx  pode ser escrito como \ud835\udc53'(\ud835\udc65) e \u201ca \ud835\udc53\u2032(\ud835\udc65) op\u00f5e-se a dy\/dx como sua pr\u00f3pria express\u00e3o simb\u00f3lica, como seu duplo ou equivalente simb\u00f3lico\u201d.<\/p>\n\n\n\n

O coeficiente diferencial simb\u00f3lico tornou-se um ponto de partida independente<\/em>, cujo equivalente real deve primeiro ser encontrado. A iniciativa foi movida do primeiro termo, o alg\u00e9brico (em dy\/dx = f'(x)), para o segundo, o simb\u00f3lico. Com isso, no entanto, o c\u00e1lculo diferencial aparece tamb\u00e9m como uma maneira particular de calcular, operando j\u00e1 de forma independente em seu pr\u00f3prio territ\u00f3rio. Seus pontos de partida du\/dx, dz\/dx   s\u00e3o grandezas matem\u00e1ticas que pertencem exclusivamente a este c\u00e1lculo e o caracterizam. E esta invers\u00e3o (Umschlag<\/em>) do m\u00e9todo resultou aqui da diferencia\u00e7\u00e3o alg\u00e9brica de uz. O m\u00e9todo alg\u00e9brico muda automaticamente para o seu oposto, o m\u00e9todo diferencial.<\/p>\n\n\n\n

Agora, removendo na equa\u00e7\u00e3o (a), dy\/dx = z du\/dx + u dz\/dx o denominador comum dx, obtemos (b), d(uz) = dy = udz + zdu , em que cada tra\u00e7o de sua origem de (a) foi removido.<\/p>\n\n\n\n

Portanto, (b) \u00e9 v\u00e1lido no caso de u e z dependentes de x, assim como no caso em que eles s\u00f3 dependem um do outro sem qualquer rela\u00e7\u00e3o com x. Desde o in\u00edcio \u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o simb\u00f3lica e pode servir desde o in\u00edcio como uma equa\u00e7\u00e3o operacional simb\u00f3lica.<\/p>\n\n\n\n

A diferencial \u00e9, portanto, uma forma simb\u00f3lica \u2013 dir\u00edamos uma forma operacional \u2013 \ud835\udc51\ud835\udc66 =\ud835\udc53\u2032(\ud835\udc65) \ud835\udc51\ud835\udc65 aparece apenas como outra forma de dy\/dx = f'(x)  e \u00e9 sempre convers\u00edvel na forma diferencial. Os matem\u00e1ticos modernos n\u00e3o ter\u00e3o dificuldade em encontrar esse m\u00e9todo, e V. Glivenko demonstrou especialmente29<\/a> como Hadamard, o matem\u00e1tico franc\u00eas, havia enfatizado o car\u00e1ter operacional da diferencial. Marx n\u00e3o menciona, contudo, a interpreta\u00e7\u00e3o agora usual de que dy deveria ser \ud835\udc53\u2032(\ud835\udc65)\u2206x, obtido arbitrariamente colocando dx = \u2206x. Esse modo de representar dy, que remonta a Cauchy, pode ter escapado de Marx (ele critica Boucharlat por sua introdu\u00e7\u00e3o da diferencial, mas o m\u00e9todo de Boucharlat \u00e9 antiquado). Acreditamos, no entanto, que Marx teria, de qualquer modo, obje\u00e7\u00f5es a fazer a essa equa\u00e7\u00e3o dx = \u2206x, que estabeleceu uma identidade entre duas concep\u00e7\u00f5es com um significado operacional inteiramente diferente. A interpreta\u00e7\u00e3o de Cauchy sobre dy, que [195] encontrou seu caminho em todos os nossos livros, \u00e9 mec\u00e2nica e s\u00f3 pode ser justificada pelo uso no qual a f\u00f3rmula dy = f'(x) dx pode ser colocada como uma aproxima\u00e7\u00e3o para certas mudan\u00e7as de uma constante x  em outra igualmente constante x + \u2206x. 30<\/a> E o fato de que essa diferen\u00e7a entre dx e \u2206x, dy e \u2206y  pode ser representada nitidamente em uma figura n\u00e3o teria impressionado Marx e Engels, cujo interesse estava na rela\u00e7\u00e3o aritm\u00e9tico-alg\u00e9brica dos s\u00edmbolos do c\u00e1lculo com o processo real de mudan\u00e7a. Isso pode ser mostrado na seguinte correspond\u00eancia entre Marx e Engels depois que Sam Moore escreveu sua opini\u00e3o sobre o material manuscrito de Marx:<\/p>\n\n\n\n

Anexo primeiro uma tentativa matem\u00e1tica de Moore. O resultado de que \u201co m\u00e9todo alg\u00e9brico \u00e9 apenas o m\u00e9todo diferencial disfar\u00e7ado\u201d refere-se, obviamente, apenas ao seu pr\u00f3prio m\u00e9todo de constru\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica e tamb\u00e9m est\u00e1 relativamente correto. Eu escrevi para ele que voc\u00ea n\u00e3o se importa com a maneira como a mat\u00e9ria \u00e9 representada na constru\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica, a aplica\u00e7\u00e3o \u00e0 equa\u00e7\u00e3o das curvas \u00e9 de fato suficiente (reiche ja hin<\/em>). Al\u00e9m disso, a diferen\u00e7a fundamental entre seu m\u00e9todo e o m\u00e9todo antigo \u00e9 que voc\u00ea faz x se transformar em x’, assim deixando-o realmente variar, enquanto o outro parte de x + h , o que sempre representa apenas a soma de duas grandezas, mas nunca a varia\u00e7\u00e3o de uma grandeza. Seu x, portanto, mesmo quando passou para x’ e retornou para x, \u00e9 outro que n\u00e3o o anterior; enquanto x permanece constante durante todo o per\u00edodo em que   h \u00e9 primeiro adicionado a x e subsequentemente subtra\u00eddo. No entanto, toda representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica da varia\u00e7\u00e3o \u00e9 necessariamente a representa\u00e7\u00e3o do processo passado<\/em>, do resultado<\/em>, portanto, de uma grandeza que se tornou constante, a linha x; seu complemento \u00e9 representado como x + h, dois segmentos de uma linha. A partir disso, j\u00e1 se segue que uma representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica de como x se torna x’ e x’ novamente se torna \u00e9 imposs\u00edvel (Engels para Marx, 21 de Novembro de 1882). 31<\/a><\/p><\/blockquote>\n\n\n\n

A resposta de Marx veio no dia seguinte:<\/p>\n\n\n\n

Sam, como voc\u00ea viu imediatamente, critica o m\u00e9todo anal\u00edtico que usei simplesmente o deixando de lado; e de sua parte se ocupa com a aplica\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica, \u00e0 qual n\u00e3o dediquei uma palavra.
Eu poderia, da mesma forma, livrar-me do (konnte damit abspeisen<\/em>) desenvolvimento do chamado m\u00e9todo diferencial \u2013 come\u00e7ando com o m\u00e9todo m\u00edstico de Newton e Leibniz, continuando com o m\u00e9todo racional de D’Alambert e Euler, e terminando com o m\u00e9todo puramente alg\u00e9brico de Lagrange (que no entanto sempre parte do mesmo princ\u00edpio original de Newton-Leibniz) \u2013 eu poderia me livrar de todo esse desenvolvimento hist\u00f3rico da an\u00e1lise dizendo que praticamente<\/em> nada essencial mudou na [196]aplica\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica do c\u00e1lculo diferencial, isto \u00e9, na representa\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica (Versinnlichung<\/em>). 32<\/a><\/p><\/blockquote>\n\n\n\n

Esta \u00faltima observa\u00e7\u00e3o de Marx mostra afinidade com a de Dedekind, que tamb\u00e9m se esfor\u00e7ou para desenvolver o c\u00e1lculo independente da representa\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica da derivada. Podemos considerar isso como uma das caracter\u00edsticas da an\u00e1lise de Marx, que est\u00e1 de acordo com nossa abordagem moderna. Outra caracter\u00edstica importante foi sua insist\u00eancia no car\u00e1ter operacional da diferencial e em sua busca pelo momento exato em que o c\u00e1lculo surge da \u00e1lgebra subjacente como uma nova doutrina. “Infinitesimais” nunca aparecem no trabalho de Marx. Em sua insist\u00eancia na origem da derivada em uma verdadeira mudan\u00e7a da vari\u00e1vel, ele d\u00e1 um passo decisivo para superar o antigo paradoxo de Zen\u00e3o \u2013 ao enfatizar a tarefa do cientista em n\u00e3o negar as contradi\u00e7\u00f5es no mundo real, mas estabelecer o melhor modo em que elas podem existir lado a lado32<\/sup>. Aqui, sua posi\u00e7\u00e3o \u00e9 diretamente oposta \u00e0quela tomada por Du Bois Reymond, que achava que os acr\u00e9scimos dx, dy deviam ser considerados como estando em repouso, invari\u00e1veis33<\/a>, ou do matem\u00e1tico moderno Tarski, que nega inteiramente a exist\u00eancia de quantidades vari\u00e1veis34<\/a>. A posi\u00e7\u00e3o de Marx a esse respeito ser\u00e1 apreciada pela maioria dos matem\u00e1ticos.<\/p>\n\n\n\n

Acreditamos que este levantamento das opini\u00f5es de Marx sobre a origem do c\u00e1lculo demonstra que a publica\u00e7\u00e3o de seus outros manuscritos matem\u00e1ticos tamb\u00e9m \u00e9 desej\u00e1vel.<\/p>\n\n\n\n

Massachusetts Institute of Technology<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

\n\n\n\n

[1]<\/a> Marx-Engels Gesamtausgabe<\/em> (Berlim, 1930), Abt. III, Bd. II, p. 273.<\/p>\n\n\n\n

[2]<\/a> Ibid<\/em>, III, p. 149.<\/p>\n\n\n\n

[3]<\/a> Capital<\/em> (Chicago, 1919), II, p. 10.<\/p>\n\n\n\n

[4]<\/a> Marx-Engels Gesamtausgabe<\/em>, Abt. III, Bd. IV, . p. 513.<\/p>\n\n\n\n

[5]<\/a> Ibid.<\/em>, p. 514.<\/p>\n\n\n\n

[6]<\/a> Anti-D\u00fchring<\/em> (New York, 1939), p. 17.<\/p>\n\n\n\n

[7]<\/a> Marksizm i Estestvoznanie<\/em> (Moscou, 1933). A tradu\u00e7\u00e3o russa dos manuscritos ocupa as p. 5-61; seguida pelos artigos de E. Kolman, S. Yanovskaya, D. J. Struik, H. J. Muller e outros. O original em alem\u00e3o, at\u00e9 onde sei, n\u00e3o foi publicado, embora pare\u00e7a haver planos para isso; veja-se Unter dem Banner des Marxismus<\/em> (1935), no. 9, p. 104, n. 1. Recebi em 1935 uma c\u00f3pia datilografada do original em alem\u00e3o dos manuscritos matem\u00e1ticos publicados pelo Instituto Marx-Engels em Moscou, e as cita\u00e7\u00f5es no presente artigo foram traduzidas deste texto.<\/p>\n\n\n\n

[8]<\/a> As informa\u00e7\u00f5es relativas ao car\u00e1ter geral das 900 p\u00e1ginas dos manuscritos matem\u00e1ticos de Marx s\u00e3o extra\u00eddas de S. Yanovskaya, \u201cO Matematicheskich Rukopisiakh K. Marksa\u201d, p. 136-180. Veja-se tamb\u00e9m E. Kolman, Science at the Cross Roads<\/em> (Londres, 1931), p. 233-235.<\/p>\n\n\n\n

[9]<\/a> \u201cNach Lagrange somewhat modified Entwicklung des Taylorschen Theorems auf bloss algebr\u00e4ischer Grundlage\u201d.<\/p>\n\n\n\n

10<\/a>] Um bom levantamento das v\u00e1rias teorias \u00e9 dado por F. Cajori, \u201cGrafting of the Theory of Limits on the Calculus of Leibniz\u201d, Am. Math. Monthly, xxx (1923), p. 223-34.<\/p>\n\n\n\n

11<\/a> A. Cauchy, R\u00e9sume\u00e9 des le\u00e7ons donn\u00e9es a l\u2019Ecole Royale Polytechnique sur le calcul infinitesimal<\/em> (Paris, 1823).<\/p>\n\n\n\n

12<\/a> O pref\u00e1cio da sexta edi\u00e7\u00e3o do livro de Boucharlat (1856), que Marx consultou, embora mencionasse em detalhes o trabalho de Newton, Leibniz, D’Alambert e Lagrange, silencia sobre Cauchy. Um dos primeiros livros did\u00e1ticos amplamente utilizados que explicitamente usou os m\u00e9todos de Cauchy foi C. Jordan, Cours d’Analyse<\/em>, que apareceu em 1882.<\/p>\n\n\n\n

13<\/a> R. Dedekind, Stetigheit und Irrationalzahlen<\/em> (1872). Traduzido em \u201cEssays on the Theory of Numbers\u201d (Chicago, 1901), p. 1 f.<\/p>\n\n\n\n

14<\/a> P. Du Bois Reymond, Die allgemeine Funktionentheorie<\/em>, I. (1882), p. 2. O autor era irm\u00e3o do fisiologista Emil, que sustentava o slogan do agnosticismo: \u201cIgnorabimus\u201d.<\/p>\n\n\n\n

15<\/a> \u00c9 at\u00e9 duvidoso que alguma informa\u00e7\u00e3o pertinente sobre o trabalho dos grandes matem\u00e1ticos alem\u00e3es da segunda metade do s\u00e9culo XIX tenha chegado a Marx e Engels. A Inglaterra da \u00e9poca era um excelente lugar para estudar capitalismo, f\u00edsica, qu\u00edmica e biologia, mas era atrasada em matem\u00e1tica, exceto em alguns ramos especializados de geometria e \u00e1lgebra.<\/p>\n\n\n\n

16<\/a> Leibniz publicou sua primeira obra sobre o c\u00e1lculo em 1684, e Newton em 1693.<\/p>\n\n\n\n

17<\/a> Veja-se e.g. F. Cajori, A History of the Conceptions of Limit and Fluxion in Great Britain from Newton to Woodhouse<\/em> (Chicago e London, 1919).<\/p>\n\n\n\n

18<\/a> D\u2019Alambert em \u201cDiff\u00e9rentiel\u201d na Encyclop\u00e9die<\/em> (1754) de Diderot.<\/p>\n\n\n\n

19<\/a> \u201closgewickelt von ihrem sonstigen Zusammenhang\u201d.<\/p>\n\n\n\n

20<\/a> \u201cEs ist keine Entwicklung<\/em>, sondern eine Loswicklung<\/em> des \u201d.<\/p>\n\n\n\n

21<\/a> Sabemos agora que, muitas vezes, isso n\u00e3o pode ser feito, mas isso requer uma extens\u00e3o da concep\u00e7\u00e3o funcional para al\u00e9m do horizonte de Lagrange.<\/p>\n\n\n\n

22<\/a> \u201cnur als Faktor, womit die durch das Binom abgeleiteten Funktionen \u00e4usserlich behaftet sid\u201d.<\/p>\n\n\n\n

23<\/a> \u201cDas transzendentale oder symbolische Ungl\u00fcck ereignet sich nur auf der linken Seite, hat aber seine Schrecken bereits verloren, da es nun als Ausdruck eines Prozesses erscheint, der seinen wirklichen Gehalt bereits auf der rechten Seite der Gleichung bew\u00e4hrt hat\u201d.<\/p>\n\n\n\n

24<\/a> Mais informa\u00e7\u00f5es em F. Cajori, \u201cThe History of Zeno\u2019s Arguments on Motion\u201d, vi, Am. Math. Monthly<\/em> XXII (1915), p. 143-149.<\/p>\n\n\n\n

25<\/a> G. H. Hardy, Pure Mathematics<\/em> (Cambridge University Press, 6th<\/sup> ed., 1933) esp. p. 116, 198. Esta defini\u00e7\u00e3o de limite \u00e9 v\u00e1lida quando  tende a zero por valor positivo. De maneira similar, uma defini\u00e7\u00e3o de limite pode ser alcan\u00e7ada quando y tende a zero por valores negativos.<\/p>\n\n\n\n

26<\/a> Ver e.g. F. Cajori, Am. Math. Monthly<\/em>, XXII (1915), p. 149, sobre as vari\u00e1veis atingirem seus limites: \u201cNa teoria moderna, n\u00e3o \u00e9 particularmente uma quest\u00e3o de argumenta\u00e7\u00e3o, mas sim de suposi\u00e7\u00e3o. A vari\u00e1vel atinge seu limite se quisermos que ela atinja; n\u00e3o atinge seu limite, se quisermos que n\u00e3o o fa\u00e7a\u201d. Tal racioc\u00ednio parece levar \u00e0 conclus\u00e3o de que depende de nossa vontade se Aquiles alcan\u00e7ar\u00e1 ou n\u00e3o a tartaruga.<\/p>\n\n\n\n

27<\/a> M. Pasch, \u201cDer Begriff des Differentials\u201d, em Mathematik am Usprung<\/em> (Leipzig, 1927), p. 46-74, eps. 61, 68.<\/p>\n\n\n\n

28<\/a> V. Glivenko, \u201cDer Differentialbegriff bei Marx und Hadamard\u201d, Unter dem Banner des Marxismus<\/em> (1935) no. 9, p. 102-110; Russian text in Pod Znamenem Marksizma<\/em> 1934, no. 5. Veja-se J. Hadamard, Cours d\u2019analyse<\/em>, I (Paris, 1927), p.2 e 6.<\/p>\n\n\n\n

29<\/a> Compare C. De la Vallee Poussin, Cours d\u2019analyse infinit\u00e9simale<\/em>, I (Louvain, Paris, 1923), p. 52: \u201cPara a substitui\u00e7\u00e3o de  por  na equa\u00e7\u00e3o  n\u00e3o h\u00e1 necessidade, mas \u00e9 consagrado pelo costume e este costume \u00e9 justificado\u201d.<\/p>\n\n\n\n

30<\/a> As palavras entre aspas est\u00e3o em ingl\u00eas na carta \u2013 veja-se Marx-Engels Gesemtausgabe<\/em>, Abt. III, Bd. II, p. 571.<\/p>\n\n\n\n

31<\/a> Marx-Engels Gesamtausgabe<\/em>, Abt. III, Bd. IV, p. 572. Compare Marx<\/em>, Capital<\/em>, part. I, ch. 3, Sec. 2: \u201cThe Metamorphosis of Commodities\u201d (Tradu\u00e7\u00e3o em ingl\u00eas, ed. 1889, p. 76).<\/p>\n\n\n\n

32<\/a> Du Bois Reymond, op. cit.<\/em>, p. 141, declara sua antipatia pela concep\u00e7\u00e3o de  como uma \u201cquantit\u00e9-evanouissante\u201d [quantidade-em-via-de-desaparecimento], j\u00e1 que ele desaprova (geht mir entschieden wider den Mann<\/em>) grandezas que come\u00e7am a se mover apenas quando olhamos para as f\u00f3rmulas: \u201cEnquanto o livro est\u00e1 fechado, prevalece um profundo sossego. Assim que eu o abro, come\u00e7a a corrida para zerar todas as grandezas fornecidas com o \u201d. Marx, sem chegar \u00e0 conclus\u00e3o de Du Bois Reymond, poderia ter compartilhado de suas cr\u00edticas, j\u00e1 que ele queria expressar n\u00e3o apenas uma mudan\u00e7a no papel, mas uma mudan\u00e7a na realidade.<\/p>\n\n\n\n

33<\/a> A Tarski, Introduction to Logic<\/em> (Nova Iorque, 1941), p. 4.

<\/p>\n\n\n\n

TRADU\u00c7\u00c3O: Leonardo Trindade<\/p>\n\n\n\n

REVIS\u00c3O: Pedro Rodrigues Naccarato

<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Por Dirk J. Struik Marx recebeu seus primeiros ensinamentos em matem\u00e1tica na escola secund\u00e1ria de Trier [Gymnasium of Trier], na cidade de Trier, cidade na Ren\u00e2nia onde nasceu. Quando de sua gradua\u00e7\u00e3o, em 1835, seu conhecimento em matem\u00e1tica era considerado adequado. 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